$\textbf{i)}$ $f(1)=5$ y $f(-3)=2$

Para resolver el problema, lo primero que sabemos es que la función $f$ que estamos buscando es de la forma $y = mx + b$, donde $m$ es la pendiente y $b$ es la ordenada al origen. Además tenemos dos datos clave de nuestra función lineal: 1. $f(1) = 5$, que nos dice que la recta pasa por el punto $(1, 5)$, es decir que cuando $x = 1$, $y=5$. 2. $f(-3) = 2$, que nos dice que la recta pasa por el punto $(-3, 2)$, es decir que cuando $x=-3$, $y=2$ Podemos armarnos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($m$ y $b$) utilizando la información que tenemos para estos puntos: Para el primer punto $(1, 5)$: $5 = m \cdot 1 + b$ (Ecuación 1) Para el segundo punto $(-3, 2)$: $2 = m \cdot (-3) + b$ (Ecuación 2)

De la Ecuación 1 podemos despejar $b$:

$ m + b = 5 $

$ b = 5 - m $ Ahora sustituimos este valor de $b$ en la Ecuación 2:

$ m \cdot (-3) + (5 - m) = 2 $

$ -3m + 5 - m = 2$

$ -4m = 2 - 5$

$ -4m = -3$

$ m = \frac{3}{4}$

Perfecto, ya tenemos el valor de $m$, ahora volvemos a la ecuación donde habíamos despejado $b$:

$ b = 5 - m $

$ b = 5 - \frac{3}{4} $

  $b = \frac{17}{4}$ 

Por lo tanto, la función lineal que estábamos buscando es...

$ f(x) = \frac{3}{4}x + \frac{17}{4} $

$\textbf{ii)}$ $f(-1)=3$ y $f(80)=3$.

Lo resolvemos con los mismos pasos que hicimos recién. Ahora sabemos que... 

1. $f(-1) = 3$, que nos dice que la recta pasa por el punto $(-1, 3)$. 2. $f(80) = 3$, que nos dice que la recta pasa por el punto $(80, 3)$.

Nos armamos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Para el primer punto $(-1, 3)$: $3 = m \cdot (-1) + b$ (Ecuación 1) Para el segundo punto $(80, 3)$: $3 = m \cdot (80) + b$ (Ecuación 2)

De la Ecuación 1 despejamos $b$: $ -m + b = 3 $

$ b = m + 3 $ Ahora sustituimos este valor de $b$ en la Ecuación 2: $ 80m + (m + 3) = 3 $ $ 80m + m + 3 = 3 $ $ 81m + 3 = 3 $ $ 81m = 3 - 3 $ $ 81m = 0 $ $ m = 0 $ Perfecto, ahora ya sabemos que $m = 0$. Ahora sustituimos $m$ en la ecuación donde habíamos despejado $b$: $ b = m + 3 $ $ b = 0 + 3 $ $ b = 3 $ Entonces, la función que lineal que estábamos buscando es $f(x) = 0 \cdot x + 3$, que lo podemos escribir directamente como... $ f(x) = 3 $

$\textbf{iv)}$ $f(0)=b$ y $f(a)=0$, donde $a$ y $b$ son números fijos.

Vamos a seguir los mismos pasos que en los items anteriores. Tranqui, a no desesperar que aparecen esas letras ahí, son números y los vamos a trabajar y arrastrar como tales, mirá:

1. $f(0) = b$, que nos dice que la recta pasa por el punto $(0, b)$. 2. $f(a) = 0$, que nos dice que la recta pasa por el punto $(a, 0)$.

Usemos la información que tenemos para estos puntos: Para el primer punto $(0, b)$ $b = m \cdot 0 + b$ (Ecuación 1) Para el segundo punto $(a, 0)$

De la Ecuación 1, como $m \cdot 0$ es cero, concluimos que $b = b$ directamente (bueno, no fue muy acertada la elección de la letra $b$ jajaja, pero se entiende, no? O sea, la ordenada al origen es este número $b$)

Sustituimos ahora la ordenada al origen en la Ecuación 2

$ m \cdot a + b = 0 $

Y ojo acá, no te me pierdas entre tantas letras, nuestra incógnita es la $m$, termino de despejar la $m$, acordate que $a$ y $b$ son números nomás. Entonces, paso $b$ restando, después $a$ dividiendo... $ ma = -b $ $ m = -\frac{b}{a} $

Y esta es la pendiente de nuestra recta! Por lo tanto, la función lineal que estábamos buscando es...

$ f(x) = -\frac{b}{a}x + b $